Die Formel zur Berechnung von Rotationskörpern mittels Integration basiert auf dem Prinzip der Integration von infinitesimalen Volumenelementen entlang der Rotationsachse. Durch die Integration dieser Volumenelemente über den gesamten Bereich des Rotationskörpers erhält man das Volumen des Körpers. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers lautet V = ∫A(x)dx, wobei A(x) den Querschnittsflächeninhalt des Körpers in Abhängigkeit von der Position x entlang der Rotationsachse darstellt. **

Die kosmische Geschwindigkeit kann aus der Gleichsetzung der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft hergeleitet werden. Die Gravitationskraft zieht ein Objekt zur Erde hin, während die Zentrifugalkraft das Objekt von der Erde wegdrückt. Wenn diese beiden Kräfte gleich groß sind, befindet sich das Objekt in einem stabilen Orbit um die Erde und hat die kosmische Geschwindigkeit erreicht. Die Formel für die kosmische Geschwindigkeit lautet v = sqrt(G * M / r), wobei G die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde und r der Abstand vom Objekt zur Erde ist. **

Die Substitutionsregel für Integrale besagt, dass das Integral einer Funktion f(x) über ein Intervall [a, b] gleich dem Integral der Funktion f(g(t)) multipliziert mit der Ableitung der Funktion g(t) ist, wenn g(t) eine differenzierbare Funktion ist, die die Bedingungen der Substitution erfüllt. Die Herleitung der Substitutionsregel basiert auf der Kettenregel der Ableitung und der Umformung des Integrals unter Verwendung der Substitution g(t) = x. **

Die Formel für die Oberfläche einer Kugel kann durch die Integration der Fläche eines infinitesimalen Streifens auf der Kugeloberfläche hergeleitet werden. Dieser Streifen hat einen Umfang von 2πr sin(θ), wobei r der Radius der Kugel und θ der Winkel ist, den der Streifen mit der Vertikalen bildet. Durch Integration über den Winkel θ von 0 bis π und Multiplikation mit dem Radius r ergibt sich die Formel für die Oberfläche einer Kugel: A = 4πr^2. **

Die Reibungskraft kann auf zwei Arten auftreten: als Haftreibung oder als Gleitreibung. Die Haftreibungskraft wird durch die Normalkraft und den Haftreibungskoeffizienten bestimmt, während die Gleitreibungskraft durch die Normalkraft und den Gleitreibungskoeffizienten bestimmt wird. Die Formel für die Reibungskraft lautet daher entweder F_Haft = µ_Haft * F_N oder F_Gleit = µ_Gleit * F_N, wobei µ_Haft bzw. µ_Gleit die Reibungskoeffizienten sind und F_N die Normalkraft ist. **

Die Zentripetalkraft kann hergeleitet werden, indem man das zweite Newtonsche Gesetz auf eine Masse anwendet, die sich auf einer Kreisbahn bewegt. Dabei wird die Beschleunigung als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit definiert und die Geschwindigkeit als Änderung des Ortes pro Zeiteinheit. Durch Einsetzen dieser Definitionen in das zweite Newtonsche Gesetz erhält man die Formel für die Zentripetalkraft, die proportional zur Masse, der Geschwindigkeit und dem Radius der Kreisbahn ist. **

Die Formel für die Exponentialfunktion e^x kann auf verschiedene Weisen hergeleitet werden. Eine Möglichkeit ist die Verwendung der Potenzreihe für die Exponentialfunktion, die besagt, dass e^x die Summe der Reihe 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... ist. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Differentialgleichung dy/dx = y, die die Eigenschaften der Exponentialfunktion beschreibt. **

Die Formel für die Beschleunigung kann aus der Definition der Beschleunigung als Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit hergeleitet werden. Sie lautet a = (v - u) / t, wobei a die Beschleunigung, v die Endgeschwindigkeit, u die Anfangsgeschwindigkeit und t die Zeit ist. Diese Formel gibt an, um wie viel sich die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit ändert. **